15．已知正數(shù)a，b滿足a+b=1
（1）求證：$\frac{1}{a}+\frac{1}$≥4；
（2）求：a2+b2的最小值．

分析 （1）利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可證明結(jié)論；
（2）利用$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，求：a2+b2的最小值．

解答 （1）證明：∵正數(shù)a，b滿足a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$≥4；
（2）解：∵$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴a2+b2≥$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立．
∴a2+b2的最小值是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查求a2+b2的最小值，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}$=1與$\frac{x^2}{4+n}+\frac{y^2}{16+n}$=1（n＞0），則下述結(jié)論中正確的是（　　）
A．有相等的長(zhǎng)軸長(zhǎng)B．有相等的焦距C．有相等的離心率D．有相同的頂點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

6．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的（　�。�
①兩個(gè)球體；②兩個(gè)長(zhǎng)方體；③兩個(gè)正四面體；④兩個(gè)正三棱柱；⑤兩個(gè)正四棱椎．
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

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3．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a=π-1，b=ln$\frac{1}{3}$，c=20.1，則輸出的結(jié)果a為（　�。�
A．20.1B．ln$\frac{1}{3}$C．π-1D．無(wú)法確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

10．下列命題正確的是（　�。�
A．若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow a•\overrightarrow c$，則$\overrightarrow b=\overrightarrow c$B．若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，則$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$
C．若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b，\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，則$\overrightarrow a∥\overrightarrow c$D．若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$是單位向量，則$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

20．已知關(guān)于x的方程3x2-2ax+a-1=0（x∈R）．
（1）證明不論a取任何實(shí)數(shù)值，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若兩根x1，x2滿足|x1-x2|=$\frac{2}{3}$，求a的值；
（3）若兩根x1，x2滿足x1＜2且x2＞2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的焦點(diǎn)恰好是橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程．
（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩個(gè)點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為原點(diǎn)），求直線l斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．集合M、N滿足條件：M∪N={1，2}，則這樣的有序集合對(duì)（M，N）共有（　�。�
A．6個(gè)B．7個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)

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5．已知函數(shù)f（x）=x+blnx在區(qū)間（0，2）上不是單調(diào)函數(shù)，則b的取值范圍是（　　）
A．（-∞，0）B．（-∞，-2）C．（-2，0）D．（-2，+∞）

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