Question

7．在△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin²A+sin²B+sinAsinB=sin²C
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求$\frac{a+b}{c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用余弦定理表示出cosC，將得出關(guān)系式代入求出cosC的值，確定出C的度數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及由正弦定理得：$\frac{a+b}{c}=\frac{2}{3}\sqrt{3}（sinA+sinB）$，又$sinA+sinB=sin（A+\frac{π}{3}）$，結(jié)合A的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得$sinA+sinB∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，進(jìn)而可求$\frac{a+b}{c}=\frac{2}{3}\sqrt{3}（sinA+sinB）$ 的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵sin²A+sin²B+sinAsinB=sin²C，
∴由正弦定理得：a²+b²-c²=-ab，…（3分）
由余弦定理得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$，
可得：$C=\frac{2π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）由正弦定理得：$\frac{a+b}{c}=\frac{sinA+sinB}{sinC}=\frac{2}{3}\sqrt{3}（sinA+sinB）$，…（9分）
又∵$A+B=\frac{π}{3}$，∴$B=\frac{π}{3}-A$，
∴$sinA+sinB=sinA+sin（\frac{π}{3}-A）=sin（A+\frac{π}{3}）$，…（12分）
而$0＜A＜\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$sinA+sinB∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，
∴$\frac{a+b}{c}∈（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意分析角的范圍，屬于基本知識(shí)的考查．