在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右準(zhǔn)線方程為x=4,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,右焦點(diǎn)為F,斜率為2的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且點(diǎn)F到直線l的距離為
2
5
5

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),它與橢圓C相交于另一點(diǎn)P,當(dāng)B,F(xiàn),P三點(diǎn)共線時(shí),試確定直線l的斜率.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)由題意知,直線l的方程為y=2(x-a),即2x-y-2a=0,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得:右焦點(diǎn)F到直線l的距離為
|2c-2a|
5
=
2
5
5
,化為a-c=1,又橢圓C的右準(zhǔn)線為x=4,即
a2
c
=4
,及其a2=c2+b2,解出即可.
(2)方法一:由(1)知B(0,
3
)
,F(xiàn)(1,0),直線BF的方程為y=-
3
(x-1)
,與橢圓方程聯(lián)立可得P,即可得出kPA;
方法二:由(1)知B(0,
3
)
,F(xiàn)(1,0),直線BF的方程為y=-
3
(x-1)
,由題A(2,0),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),聯(lián)立直線得出交點(diǎn)代入橢圓方程即可得出.
方法三:由題A(2,0),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),與橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系,利用B,F(xiàn),P三點(diǎn)共線kBP=kBF,解出即可.
解答: 解:(1)由題意知,直線l的方程為y=2(x-a),即2x-y-2a=0,
∴右焦點(diǎn)F到直線l的距離為
|2c-2a|
5
=
2
5
5
,
∴a-c=1,
又橢圓C的右準(zhǔn)線為x=4,即
a2
c
=4

c=
a2
4
,將此代入上式解得a=2,c=1,
∴b2=3,
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)方法一:由(1)知B(0,
3
)
,F(xiàn)(1,0),
∴直線BF的方程為y=-
3
(x-1)
,
聯(lián)立方程組
y=-
3
(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
,解得
x=
8
5
y=-
3
3
5
x=0
y=
3
(舍),即P(
8
5
,-
3
3
5
)
,
∴直線l的斜率k=
0-(-
3
3
5
)
2-
8
5
=
3
3
2

方法二:由(1)知B(0,
3
)
,F(xiàn)(1,0),
∴直線BF的方程為y=-
3
(x-1)
,由題A(2,0),顯然直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),聯(lián)立方程組
y=-
3
(x-1)
y=k(x-2)

解得
x=
2k+
3
k+
3
y=
-
3
k
k+
3
,
代入橢圓解得:k=
3
3
2
k=-
3
2
,
又由題意知,y=
-
3
k
k+
3
<0得k>0或k<-
3
,
k=
3
3
2

方法三:由題A(2,0),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),
聯(lián)立方程組
y=k(x-2)
x2
4
+
y2
3
=1
,得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,xA+xP=
16k2
4k2+3

xP=
16k2
4k2+3
-2=
8k2-6
4k2+3
,yP=
-12k
4k2+3

當(dāng)B,F(xiàn),P三點(diǎn)共線時(shí)有,kBP=kBF
-12k
4k2+3
-
3
8k2-6
4k2+3
=
-
3
1
,解得k=
3
3
2
k=-
3
2

又由題意知,y=
-
3
k
k+
3
<0得k>0或k<-
3

k=
3
3
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、三點(diǎn)共線,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)若P(1,2),Q(sinα,cosα)(α∈R),則d(P,Q)的最大值為3-
2

(2)若P,Q是圓x2+y2=1上的任意兩點(diǎn),則d(P,Q)的最大值為2
2
;
(3)若P(1,3),點(diǎn)Q為直線y=2x上的動(dòng)點(diǎn),則d(P,Q)的最小值為
1
2

其中為真命題的是( 。
A、(1)(2)(3)
B、(2)
C、(3)
D、(2)(3)

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已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=(  )
A、±
3
3
B、±
1
3
C、1或7
D、4±
15

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x<0或x>β},(α<β<0),則不等式cx2-bx+a>0的解集為( 。
A、{x|-
1
β
<x<-
1
α
}
B、{x|
1
β
<x<
1
α
}
C、{x|-
1
α
<x<-
1
β
}
D、{x|x<-
1
α
或x>-
1
β
}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,二次函數(shù)f(x)=
1
2
an•x2+(2-n-an+1)•x的對(duì)稱軸為x=
1
2

(1)試證明{2nan}是等差數(shù)列,并求{an}通項(xiàng)公式;
(2)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,試求使得Sn<3成立的n值,并說(shuō)明理由.

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A、16
B、
40
3
C、
32
3
D、
16
3

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2lg4+lg
5
8
=
 

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