Question

10．二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展開(kāi)式中所有無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)之和為-51．

Answer 1

分析 T_r+1=${∁}_{6}^{r}（\root{3}{x}）^{6-r}（-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{2-\frac{5r}{6}}$，令r=0，6時(shí)，可得有理項(xiàng)為：T₁=-12x²，T₇=2⁶x^-3=64x^-3，可得有理項(xiàng)的系數(shù)之和．令x=1時(shí)，二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和=1．即可得出二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展開(kāi)式中所有無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)之和．

解答 解：T_r+1=${∁}_{6}^{r}（\root{3}{x}）^{6-r}（-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{2-\frac{5r}{6}}$，
令r=0，6時(shí)，可得有理項(xiàng)為：T₁=-12x²，T₇=2⁶x^-3=64x^-3，
可得有理項(xiàng)的系數(shù)之和為64-12=52．
令x=1時(shí)，二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和=（1-2）⁶=1．
∴二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展開(kāi)式中所有無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)之和=1-52=-51．
故答案為：-51．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．