Question

【題目】設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）．
（1）求方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率；
（2）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，本題是一個(gè)等可能事件的概率，

試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36，

滿足條件的事件是使方程有實(shí)根，則△=b2﹣4c≥0，即 ．

下面針對(duì)于c的取值進(jìn)行討論

當(dāng)c=1時(shí)，b=2，3，4，5，6；

當(dāng)c=2時(shí)，b=3，4，5，6；

當(dāng)c=3時(shí)，b=4，5，6；

當(dāng)c=4時(shí)，b=4，5，6；

當(dāng)c=5時(shí)，b=5，6；

當(dāng)c=6時(shí)，b=5，6，

目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為5+4+3+3+2+2=19，

因此方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率為 ．

（2）解：由題意知用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)得到ξ=0，1，2

根據(jù)第一問(wèn)做出的結(jié)果得到

則 ， ， ，

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P

∴ξ的數(shù)學(xué)期望 ．

（3）解：在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實(shí)根，

這是一個(gè)條件概率，

記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，

“方程ax2+bx+c=0有實(shí)根”為事件N，

則 ， ，

∴ ．

【解析】（1）由題意知，本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6，滿足條件的事件是使方程有實(shí)根，則△=b2﹣4c≥0，對(duì)于c的取值進(jìn)行列舉，得到事件數(shù)，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．（2）由題意知用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)得到ξ的可能取值0，1，2根據(jù)第一問(wèn)做出的結(jié)果寫(xiě)出變量對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列和期望．（3）在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實(shí)根，這是一個(gè)條件概率，做出先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的概率和先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下且方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率，根據(jù)條件概率的公式得到結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能正確解答此題．