Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，且a₂，a₃+1，a₄成等差數(shù)列．
（1）求a₁及a_n；
（2）設(shè)b_n=a_n+n，求數(shù)列{b_n}的前5項(xiàng)和S₅．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=2^n-1+n，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）由已知得a₂=2a₁，a₃+1=4a₁+1，a₄=8a₁，
又a₂，a₃+1，a₄成等差數(shù)列，可得：
2（a₃+1）=a₂+a₄，
所以2（4a₁+1）=2a₁+8a₁，
解得a₁=1，
故a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）因?yàn)閎_n=2^n-1+n，
所以S₅=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅
=（1+2+…+16）+（1+2+…+5）
=$\frac{1•（1-{2}^{5}）}{1-2}$+$\frac{5（1+5）}{2}$=31+15=46．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查解方程的思想和數(shù)列的求和方法：分組求和，屬于中檔題．