Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）若直線y=2x+p（p∈R）是函數(shù)y=f（x）圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)p的值；
（2）若函數(shù)g（x）=x-$\frac{m}{x}$-2f（x）（m∈R）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②證明：g（x₂）＜x₂-1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，代入切線方程求出p的值即可；
（2）①求出函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，等價于方程x²-2x+m=0在（0，+∞），直接推出結(jié)果．通過①，推出0＜m＜1，構(gòu)造新函數(shù)g（t）=t-2lnt-1，1＜t＜2，利用新函數(shù)的單調(diào)性證明，求解即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx的定義域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$，
若直線y=2x+p（p∈R）是函數(shù)y=f（x）圖象的一條切線，
∴$\frac{1}{x}$=2，解得：x=$\frac{1}{2}$，y=f（x）=ln$\frac{1}{2}$=-ln2，
將（$\frac{1}{2}$，-ln2）代入y=2x+p，得：p=y-2x=-ln2-1；
（2）①函數(shù)g（x）=x-$\frac{m}{x}$-2lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+m}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x²-2x+m=0，其判別式△=4-4m，
當(dāng)△≤0，即m≥1時，x²-2x+m≥0，g′（x）≥0，
此時，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
函數(shù)g（x）無極值點(diǎn)；
②當(dāng)△＞0，即m＜1時，方程x²-2x+a=0的兩根為x₁=1-$\sqrt{1-m}$，x₂=1+$\sqrt{1-m}$＞1，
若m≤0，則x₁≤0，則x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，
此時，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
函數(shù)g（x）有1個極值點(diǎn)；
若m＞0，則x₁＞0，則x∈（0，x₁）時，g′（x）＞0，
x∈（x₁，x₂）時，g′（x）＜0，
x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，
此時，g（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
函數(shù)g（x）有2個極值點(diǎn)；
綜上，0＜m＜1；
②證明：由①得0＜m＜1，x₂=1+$\sqrt{1-m}$，且1＜x₂＜2，m=-${{x}_{2}}^{2}$+2x₂，
g（x₂）-x₂+1=x₂-$\frac{{{-x}_{2}}^{2}+{2x}_{2}}{{x}_{2}}$-2lnx₂-x₂+1=x₂-2lnx₂-1，
令h（t）=t-2lnt-1，1＜t＜2，
則h′（t）=1-$\frac{2}{t}$=$\frac{t-2}{t}$，
由于1＜t＜2，則h′（t）＜0，故h（t）在（1，2）上單調(diào)遞減，
故h（t）＜h（1）=1-2ln1-1=0，
∴g（x₂）-x₂+1=h（x₂）＜0，
∴g（x₂）＜x₂-1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．