Question

3．△ABC中，∠A=120°，∠A的平分線AD交邊BC于D，且AB=2，CD=2DB，則AD的長為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)CD=2DB，得到B，C，D三點共線，繼而得到$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，根據(jù)平分線的性質(zhì)求出AC=4，利用向量的模的計算和向量的數(shù)量積即可求出答案．

解答 解：由題意B，C，D三點共線，且$\frac{CD}{BD}$=$\frac{2}{1}$，則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
根據(jù)角平分線的性質(zhì)$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=4，
∴|$\overrightarrow{AD}$|²=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$）²=$\frac{1}{9}$|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{4}{9}$|AB|²+$\frac{4}{9}$|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{AB}$|cosA=$\frac{16}{9}$+$\frac{16}{9}$-$\frac{16}{9}$=$\frac{16}{9}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了向量在幾何中的應用，關(guān)鍵是掌握向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．