Question

3．如圖，已知棱長為4的正方體ABCD-A′B′C′D′，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)．滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長度是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{11}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{14}}{2}$
• C． $\sqrt{11}$
• D． $\sqrt{14}$

Answer 1

分析 滿足PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過MD的中點(diǎn)，且與MD垂直的平面，根據(jù)P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，可得點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST．T在中點(diǎn)，S在4等分點(diǎn)，利用余弦定理，求出ST即可．

解答 解：滿足PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過MD的中點(diǎn)，且與MD垂直的平面，
∵P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST．T在中點(diǎn)，
S在4等分點(diǎn)時(shí)，SD=3$\sqrt{2}$，SM=$\sqrt{{4}^{2}+2}$=3$\sqrt{2}$，滿足SD=SM
∴SD=3$\sqrt{2}$，TD=2$\sqrt{2}$
∴ST=$\sqrt{18+8-2×3\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查軌跡的求解，考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．