Question

一個多面體的直觀圖和三視圖（主觀圖、左視圖、俯視圖）如圖所示，M、N分別為A₁B、B₁C₁的中點．
（1）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求證：MN⊥平面A₁BC；
（3）求二面角A-A₁B-C的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（1）通過已知條件容易判斷BC，BA，BB₁三條直線兩兩垂直，所以可建立空間直角坐標系．通過觀察MN好像和AC₁平行，求向量

MN

，

AC1

的坐標，證明兩向量平行即可；
（2）在平面A₁BC內(nèi)找從一點出發(fā)的兩個向量，并求其坐標，分別求和向量

MN

的數(shù)量積，數(shù)量積為0即可；
（3）容易說明平面AA₁B⊥平面CA₁B，所以所求二面角為90°．

解答： 解：（1）分別以CB，AB，BB₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
能確定以下幾點坐標：
A（0，-a，0），B（0，0，0），C（-a，0，0），A₁（0，-a，a），C1(-a，0，a)，M(0，-

a

2

，

a

2

)，N(-

a

2

，0，a)；
∴

MN

=(-

a

2

，

a

2

，

a

2

)，

AC1

=(-a，a，a)，

A1B

=(0，a，-a)，

A1C1

=(-a，a，0)，

AM

=(0，

a

2

，

a

2

)，

CB

=(a，0，0)；
∴

MN

=

1

2

AC1

，∴

MN

∥

AC1

，∴MN∥AC₁，AC₁?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁；
∴MN∥平面ACC₁A₁．
（2）

BA1

=(0，-a，a)，

BC

=(-a，0，0)；
∴

MN

•

BA1

=-

a2

2

+

a2

2

=0，∴

MN

⊥

BA1

，∴MN⊥BA₁；
同理

MN

⊥

BC

，∴MN⊥BC，BA₁∩BC=B；
∴MN⊥平面A₁BC；
（3）∵BC⊥AB，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B；
∴BC⊥平面ABB₁A₁，即BC⊥平面AA₁B；
∴二面角A-A₁B-C為直二面角；
∴二面角A-A₁B-C的大小為90°．

點評：考查空間直角坐標系，兩向量垂直的充要條件，線面垂直的判定定理，以及二面角，直二面角．