Question

13．若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，則a_n+2+a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n是奇數(shù)}\\{4n}&{n是偶數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，分別討論n是奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，利用方程組法進(jìn)行求解即可．

解答 解：若n是偶數(shù)，則n+1是奇數(shù)，
則由a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1得a_n+1+a_n=2n-1，①
a_n+2+（-1）ⁿ⁺¹a_n+1=2（n+1）-1=2n+1，
即a_n+2-a_n+1=2n+1，③，
則兩式相加得a_n+2+a_n=4n，
若n是奇數(shù)，則n+1是偶數(shù)，
則由a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1得a_n+1-a_n=2n-1，①
a_n+2+（-1）ⁿ⁺¹a_n+1=2（n+1）-1=2n+1，
即a_n+2+a_n+1=2n+1，③，
則兩式相減得a_n+2+a_n=2，
綜上a_n+2+a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n是奇數(shù)}\\{4n}&{n是偶數(shù)}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n是奇數(shù)}\\{4n}&{n是偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)條件討論n是奇數(shù)和偶數(shù)，建立方程組關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．