Question

4．某種家用電器每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間T（單位：年）有關．若T≤1，則銷售利潤為0元；若1＜T≤3，則銷售利潤為200元；若T＞3，則銷售利潤為400元．設每臺該種電器的無故障使用時間T≤1，1＜T≤3及T＞3這三種情況發(fā)生的概率分別為p₁，p₂，p₃，又知p₁，p₂是方程20x²-15x+a=0的兩個根，且p₂=p₃，
（1）求p₁，p₂，p₃的值；
（2）記ξ表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和，求ξ的分布列及均值．

Answer 1

分析 （1）利用p₁+p₂+p₃=1，p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，且p₂=p₃，可求p₁，p₂，p₃的值；
（2）ξ的可能取值為0，200，400，600，800，求出相應的概率，可得ξ的分布列；利用期望公式可求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和的期望值．

解答 （12分）
解：（1 ）由已知得p₁+p₂+p₃=1，p₂=p₃，
∴p₁+2p₂=1，
∵p₁，p₂是方程20x²-15x+a=0 的兩個根，
∴p₁+p₂=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$
∴p₁=$\frac{1}{2}$，p₂=$\frac{1}{4}$．p₃=$\frac{1}{4}$．
（2）ξ的可能取值為0，200，400，600，800，
P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；P（ξ=200）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$；
P（ξ=400）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；
P（ξ=600）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$；
P（ξ=800）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{16}$
隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	200	400	600	800
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

銷售利潤總和的平均值為
Eξ=$0×\frac{1}{4}$+200×$\frac{1}{4}$+400×$\frac{1}{4}$+600×$\frac{1}{8}$+800×$\frac{1}{16}$=300
∴銷售兩臺這種家用電器的利潤總和的平均值為300元．

點評 本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，確定變量的取值，計算概率是關鍵．