Question

12．在如圖所示的圓錐中，OP是圓錐的高，AB是底面圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)，D是線段PB的中點(diǎn)，且PO=2，OB=1．
（1）試在PB上確定一點(diǎn)F，使得EF∥面COD，并說(shuō)明理由；
（2）求點(diǎn)A到面COD的距離．

Answer 1

分析 （1）連接BE，設(shè)BE∩OC=G，由題意G為△ABC的重心，可得$\frac{BG}{GE}$=2，連接DG，利用EF∥平面COD，可得EF∥DG，進(jìn)而得出F點(diǎn)的位置．
（2）由PO⊥平面ABC，可得OC⊥PO，利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得OC⊥平面POB．OC⊥OD．利用V_A-OCD=V_D-AOC，即可得出．

解答 解：（1）連接BE，設(shè)BE∩OC=G，由題意G為△ABC的重心，∴$\frac{BG}{GE}$=2，
連接DG，
∵EF∥平面COD，EF?平面BEF，平面BEF∩平面COD=DG，
∴EF∥DG，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{BG}{GE}$=2，
又BD=DP，∴DF=PF=$\frac{1}{4}$PB．
∴點(diǎn)F是PB上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)． 
（2）由PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥PO，又點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，OC⊥AB，∴OC⊥平面POB．
OD?平面POB，∴OC⊥OD．
S_△COD=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∵V_A-OCD=V_D-AOC，∴$\frac{1}{3}$•S_△COD•d=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}$•$\frac{1}{2}$PO，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{4}$d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×1$，
∴點(diǎn)A到面COD的距離$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、空間距離、線面面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．