Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距為4，且經過點（-3，2

6

）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程和其漸近線方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+2與雙曲線C有且只有一個公共點，求所有滿足條件的k的取值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出雙曲線的焦點，根據定義求出a，然后求出b．可得雙曲線C的方程與漸近線方程．
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程組，通過消元，利用方程解的個數，求出a的值即可．

解答： 解：（1）由題意可知：雙曲線的焦點為（-2，0）和（2，0）
根據定義有2a=|

(-3+2)2+(2 6 -0)2

-

(-3-2)2+(2 6 -0)2

|=2．
∴a=1由以上可知：a²=1，c²=4，b²=3．
∴所求雙曲線C的方程為：x2-

y2

3

=1．…（4分）
漸近線方程為：y=±

3

x，…（6分）
（2）由

y=kx+2 x2 a2 - y2 b2 =1

，得：（3-k²）x²-4kx-7=0．
①當3-k²=0即k=±

3

時，此時直線l雙曲線相交于一個公共點，符合題意；…（8分）
②當當3-k²≠0即k≠±

3

時，由△=0得k=±

7

，
此時直線l雙曲線相切于一個公共點，符合題意． …（10分）
綜上所述：符合題意的k的所有取值為

3

，-

3

，

7

，-

7

．…（12分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，橢圓的方程的求法，考查計算能力．