Question

10．食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的建康帶來一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社會每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a（單位：萬元）滿足P=80+4$\sqrt{2a}$，Q=$\frac{1}{4}$a+120，設(shè)甲大棚的投入為x（單位：萬元），每年兩個(gè)大棚的總收益為f（x）（單位：萬元）．
（1）求f（50）的值；
（2）試問如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f（x）最大？

Answer 1

分析 （1）由甲大棚投入50萬元，則乙大投棚入150萬元，把a(bǔ)的值代入即可得出．
（2）$f（x）=80+4\sqrt{2x}+\frac{1}{4}（{200-x}）+120=-\frac{1}{4}x+4\sqrt{2x}+250$，依題意得$\left\{\begin{array}{l}x≥20\\ 200-x≥20\end{array}\right.⇒20≤x≤180$，通過換元利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵甲大棚投入50萬元，則乙大投棚入150萬元，
∴$f（{50}）=80+4\sqrt{2×50}+\frac{1}{4}×150+120=277.5$萬元．
（2）$f（x）=80+4\sqrt{2x}+\frac{1}{4}（{200-x}）+120=-\frac{1}{4}x+4\sqrt{2x}+250$，依題意得$\left\{\begin{array}{l}x≥20\\ 200-x≥20\end{array}\right.⇒20≤x≤180$，
故$f（x）=-\frac{1}{4}x+4\sqrt{2x}+250（{20≤x≤180}）$．
令$t=\sqrt{x}∈[{2\sqrt{5}，6\sqrt{5}}]$，則$f（x）=-\frac{1}{4}{t^2}+4\sqrt{2}t+250=-\frac{1}{4}{（{t-8\sqrt{2}}）^2}+282$，
當(dāng)$t=8\sqrt{2}$，即x=128時(shí)，f（x）_max=282萬元．
所以投入甲大棚128萬元，乙大棚72萬元時(shí)，總收益最大，且最大收益為282萬元．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．