Question

2．已知函數(shù)f（x）=（ax-x²）e^x．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-1，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）是否可為R上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值范圍，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時，求得函數(shù)解析式和導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）≤0，求得x的取值范圍，即可求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由題意可知，將函數(shù)f（x）在（-1，1]上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0，對于x∈（-1，1]都成立，采用分離變量法，構(gòu)造輔助函數(shù)求得函數(shù)的最大值，求得a的取值范圍；
（Ⅲ）分類討論當(dāng)若函數(shù)f（x）為R上單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減，即f′（x）≥0或f′（x）≤0，對于x∈都成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷是否滿足條件，即可判斷f（x）是否可為R上的單調(diào)函數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=（2x-x²）e^x．
f′（x）=（2-2x）e^x+（2x-x²）e^x，
=（2-x²）e^x，
令f′（x）≤0，2-x²≤0，解得：x≤-$\sqrt{2}$或x≥$\sqrt{2}$，
所以單調(diào)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞），
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（-1，1]上單調(diào)遞增，
所以f′（x）≥0，對于x∈（-1，1]都成立，
即f′（x）=[a+（a-2）x-x²]e^x≥0，對于x∈（-1，1]都成立，
故有a≥$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$=x+1-$\frac{1}{x+1}$，
令g（x）=x+1-$\frac{1}{x+1}$，則g′（x）=1+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，
故g（x）在（-1，1]上單調(diào)遞增，g（x）_max=g（1）=$\frac{3}{2}$，
∴a的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，+∞）；
（Ⅲ）假設(shè)f（x）為R上單調(diào)函數(shù)，則為R上單調(diào)遞增函數(shù)或R上單調(diào)遞減函數(shù)，
①若函數(shù)f（x）為R上單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）≥0，對于x∈都成立，
即[a+（a-2）x-x²]e^x≥0恒成立．
由e^x＞0，x²-（a-2）x-a≤0對于x∈R都恒成立，
由h（x）=x²-（a-2）x-a的開口向上的拋物線，
則h（x）≤0，不可能恒成立，
所以f（x）不可能為R上的單調(diào)增函數(shù)，
②若函數(shù)f（x）為R上單調(diào)遞減函數(shù)，則f′（x）≤0，對于x∈都成立，
即[a+（a-2）x-x²]e^x≤0恒成立，
由e^x＞0，x²-（a-2）x-a≥0對于x∈R都恒成立，
故由△=（a-2）²+4a≤0，整理得：a²+4≤0，顯然不成立，
所以，f（x）不能為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
綜上，可知函數(shù)f（x）不可能為R上的單調(diào)函數(shù)．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題