Question

20．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n．若a₂-a₅=-78，S₃=13，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3^n-1．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于公比q和首項(xiàng)a₁的方程組，通過解方程組求得它們的值．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q（q＞0）．
∵a₂-a₅=-78，S₃=13，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q-{a}_{1}{q}^{4}=-78}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=13}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3^n-1．
故答案是：3^n-1．

點(diǎn)評(píng) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式在解題是起到變量代換作用，而和是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．解題時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用．