Question

2．已知函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2x-a，x≥1}\\{{e^x}，x≤-1}\end{array}}$的圖象上存在關于y軸的對稱點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$-1）
• B． （-∞，2-$\frac{1}{e}$）
• C． [$\frac{1}{e}$-1，+∞）
• D． [2-$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 作出當x≥1時，f（x）=2x-a，關于y軸對稱的函數，根據f（x）圖象上存在關于y軸的對稱點，則等價為e^x=-2x-a在x∈（-∞，-1]上有解，利用函數的單調性進行求解即可．

解答 解：當x≥1時，f（x）=2x-a，
則此時函數f（x）=2x-a關于y軸對稱的函數為y=-2x-a，x≤-1，
若f（x）圖象上存在關于y軸的對稱點，
則等價為e^x=-2x-a在x∈（-∞，-1]上有解，
即y=e^x+2x+a在（-∞，-1]上有零點，
因為y=e^x+2x+a為增函數，
所以e^-1+2×（-1）+a≥0，
解得$a≥2-\frac{1}{e}$．
故選：D

點評 本題主要考查分段函數的應用，根據圖象關于y軸對稱求出對稱的函數，將條件進行轉化是解決本題的關鍵．