Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）e^x，已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線與直線ex-y=0平行．
（1）求a的值；
（2）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行的條件，求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率k，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令x=1，f′（1）=k，求出a；
（2）將（1）中的a代入原式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，得出y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0，得出y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線與直線ex-y=0平行，
直線ex-y=0的斜率為e，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為k=e．
∵函數(shù)f（x）=（x+a）e^x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=e^x（1+x+a），
令x=1，∴f′（1）=k=e，即e（2+a）=e，
解得a=-1；
（2）f（x）=（x-1）e^x，
∴f′（x）=e^x•x，
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0，
∴y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．