Question

4．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）寫出圓C的直角坐標方程；
（2）P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標互化的方法，寫出圓C的直角坐標方程；
（2）設P（3+$\frac{1}{2}t$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），利用距離公式，可得結論．

解答 解：（1）圓C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，可得直角坐標方程為x²+y²=2$\sqrt{3}y$，即x²+（y-$\sqrt{3}$）²=3；
（2）設P（3+$\frac{1}{2}t$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），
∵C（0，$\sqrt{3}$），
∴|PC|=$\sqrt{（3+\frac{1}{2}t）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}t-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+12}$，
∴t=0時，P到圓心C的距離最小，P的直角坐標是（3，0）．

點評 本題考查極坐標與直角坐標互化，考查參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．