Question

12．如圖直角梯形OABC中，$∠COA=∠OAB=\frac{π}{2}，OC=2，OA=AB=1，SO⊥$面OABC，SO=1，以O(shè)C，OA，OS分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz．
（1）求$\overrightarrow{SC}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角α的余弦值；
（2）設(shè)SB與平面SOC所成的角為β，求sinβ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量 $\overrightarrow{SC}$與$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，即可得到結(jié)論．
（2）求出平面SOC的法向量為（0，1，0），$\overrightarrow{SB}$=（1，1，-1），利用向量的夾角公式，即可求SB與平面SOC夾角的正弦值．

解答 解：（1）如圖所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）．
∴$\overrightarrow{SC}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{OB}$=（1，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{SC}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴$\overrightarrow{SC}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角α的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$；           
（2）平面SOC的法向量為（0，1，0），$\overrightarrow{SB}$=（1，1，-1），
∴sinβ=|$\frac{1}{1•\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間角的計(jì)算，考查向量法的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．