Question

7．如圖，直線y=kx分拋物線y=2x-x²與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k值．

Answer 1

分析 先求出直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線y=kx分拋物線y=x-x²與x軸所圍成圖形為面積相等的兩個(gè)部分得_{${∫}_{0}^{2-k}$[（2x-x2）-kx]dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{2}$（2x-x2）dx}，下面利用定積分的計(jì)算公式即可求得k值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=2x-{x}^{2}}\end{array}\right.$得 $\left\{\begin{array}{l}{x=2-k}\\{y=2k-{k}^{2}}\end{array}\right.$（0＜k＜2）．
由題設(shè)得${∫}_{0}^{2-k}$[（2x-x²）-kx]dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{2}$（2x-x²）dx即${∫}_{0}^{2-k}[（$2x-x²）-kx]dx=$\frac{1}{2}$（ x2-$\frac{1}{3}$x3）|₀²=$\frac{2}{3}$
∴（x²-$\frac{1}{3}{x}^{3}$$-\frac{k}{2}{x}^{2}$）|₀^2-k=$\frac{2}{3}$，
（2-k）³=2
∴k=2-$\root{3}{2}$
故k的值為：$2-\root{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 研究平面圖形的面積的一般步驟是：（1）畫草圖；（2）解方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）確定被積函數(shù)及上、下限；（4）進(jìn)行計(jì)算．