Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，方程為x²+y²+DX+Ey+F=0的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）若四邊形ABCD的面積為40，對角線AC的長為8，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，且∠ADC為銳角，求圓的方程，并求出B，D的坐標；
（2）設四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G，OH⊥AB，且垂足為H，試用平面解析幾何的研究方法判斷點O、G、H是否共線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知對角線互相垂直的四邊形ABCD面積$S=\frac{{|{AC}|•|{BD}|}}{2}$，連接MA，得M（0，3），由此能求出結果．
（2）設四邊形四個頂點的坐標分別為A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，0）．則點G的坐標為$（{\frac{c}{2}，\fraclptbyvf{2}}）$，使G、O、H共線，只需證$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=0$即可，由此能證明G、O、H必定三點共線．

解答 解：（1）由題意知對角線互相垂直的四邊形ABCD面積$S=\frac{{|{AC}|•|{BD}|}}{2}$，
∵S=40，AC=8，∴BD=10．…（2分）
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，∴∠A為直角，∵四邊形是圓M的內接四邊形，∴BD=2r=10，r=5，
連接MA，解得MO=3，∴M（0，3），
∴圓M的方程為x²+（y-3）²=25，…（6分）
令x=0，y=8或y=-2，∴B（0，8），D（0，-2）…（8分）
證明：（2）設四邊形四個頂點的坐標分別為A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，0）．
則點G的坐標為$（{\frac{c}{2}，\fracdtmqjsr{2}}）$，即$\overrightarrow{OG}=（{\frac{c}{2}，\fracdzowmbu{2}}）$…（12分）
又$\overrightarrow{AB}=（{-a，b}）$，且AB⊥OH，故使G、O、H共線，只需證$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=0$即可
而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=\frac{bd-ac}{2}$，且對于圓M的一般方程x²+y²+DX+Ey+F=0，
當y=0時，可得x²+DX+F=0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標，
于是有x_Ax_C=ac=F．
同理，當x=0時，可得y²+Ey+F=0，其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標，
于是有y_By_D=bd=F，所以，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=\frac{bd-ac}{2}=0$，即AB⊥OG，
故G、O、H必定三點共線     …（16分）

點評 本題考查方程的求法，考查三點共線的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．