Question

10．在等比數列{a_n}中，a₁=2，公比q＞0，其中-8a₁，a₂，a₃成等差數列
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_n，求數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由-8a₁，a₂，a₃成等差數列，可得2a₂=-8a₁+a₃，代入解出即可得出．
（II）b_n=log₂a_n=2n-1．可得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（I）∵-8a₁，a₂，a₃成等差數列，∴2a₂=-8a₁+a₃，
∴2×2q=-8×2+2q²，化為：q²-2q-8=0，q＞0，解得q=4．
∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1．
（II）b_n=log₂a_n=2n-1．
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．