Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的圖象關于y軸對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求a的值；
（3）若函數(shù)g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有兩個不同的零點，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 解得﹣1＜x＜1，所以函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，1）
（2）解：依題意，可知f（x）為偶函數(shù)，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x），

即（a﹣1）[log2（1+x）﹣log2（1﹣x）]=0，即 在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1

（3）解：解法一：由（2）可知 ，

所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t，它的圖象的對稱軸為直線 ．

依題意，可知g（x）在（﹣1，1）內有兩個不同的零點，

只需 ，解得 ．

所以實數(shù)t的取值范圍是 ．

解法二：由（2）可知 ，

所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t．

依題意，可知g（x）在（﹣1，1）內有兩個不同的零點，即方程2t=x2+x﹣1在（﹣1，1）內有兩個不等實根，

即函數(shù)y=2t和y=x2+x﹣1在（﹣1，1）上的圖象有兩個不同的交點．

在同一坐標系中，分別作出函數(shù)y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的圖象，如圖所示．

觀察圖形，可知當 ，即 時，兩個圖象有兩個不同的交點．

所以實數(shù)t的取值范圍是 ．

【解析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，解出不等式，即可得出定義域，（2）由于f（x）為偶函數(shù)，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x），( a 1 ) log2 = 0 在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1,（3）解法一：根據(jù)函數(shù)零點定理可得關于t的方程組，解得即可，解法二：分別作出函數(shù)y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的圖象，由圖象可得.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)圖象的作法，掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函數(shù)圖象即可以解答此題．