Question

3．已知曲線${C_n}：y=n{x^2}$，點P_n（x_n，y_n）（x_n＞0，y_n＞0）是曲線C_n上的點（n=1，2，…），曲線C_n在點P_n處的切線是l_n，l_n與y軸相交于點Q_n．若原點O（0，0）到切線l_n的距離與線段P_nQ_n的長度之比取得最大值，則點P_n的坐標為$（\frac{1}{2n}，\frac{1}{4n}）$．

Answer 1

分析 求導，令x=x_n，求得點P的切線方程2nx_n•x-n•${x}_{n}^{2}$=0，利用點到直線的距離公式求得原點O（0，0）到切線l_n的距離d=$\frac{丨-n{x}_{n}^{2}丨}{\sqrt{（2n{x}_{n}）^{2}+1}}$=$\frac{n{x}_{n}^{2}}{\sqrt{4{n}^{2}{x}_{n}^{2}+1}}$，丨P_nQ_n丨=$\sqrt{{x}_{n}^{2}+（2n{x}_{n}^{2}）^{2}}$，$\fracwa78orp{丨{P}_{n}{Q}_{n}丨}$=$\frac{n丨{x}_{n}丨}{1+4{n}^{2}{x}_{n}^{2}}$≤$\frac{n丨{x}_{n}丨}{2•1•丨2n{x}_{n}丨}$=$\frac{1}{4}$，即可求得點P_n的坐標．

解答 解：由y=nx²，求導，y′=2nx，
∴y′${丨}_{x={x}_{n}}$=2nx_n，
∴切線l_n的方程為y-n•${x}_{n}^{2}$=2nx_n（x-x_n），即2nx_n•x-n•${x}_{n}^{2}$=0，
令x=0，得y=-n${x}_{n}^{2}$，
∴點Q_n坐標為（0，-n•${x}_{n}^{2}$）；
原點O（0，0）到切線l_n的距離d=$\frac{丨-n{x}_{n}^{2}丨}{\sqrt{（2n{x}_{n}）^{2}+1}}$=$\frac{n{x}_{n}^{2}}{\sqrt{4{n}^{2}{x}_{n}^{2}+1}}$，
丨P_nQ_n丨=$\sqrt{{x}_{n}^{2}+（2n{x}_{n}^{2}）^{2}}$，
∴$\frac0cph0f1{丨{P}_{n}{Q}_{n}丨}$=$\frac{n丨{x}_{n}丨}{1+4{n}^{2}{x}_{n}^{2}}$≤$\frac{n丨{x}_{n}丨}{2•1•丨2n{x}_{n}丨}$=$\frac{1}{4}$，
當且僅當1=4n²${x}_{n}^{2}$，即${x}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$（x_n＞0）時，等號成立，
此時x_n=$\frac{1}{2n}$，
∴點P_n的坐標為$（\frac{1}{2n}，\frac{1}{4n}）$．
故答案為：$（\frac{1}{2n}，\frac{1}{4n}）$．

點評 本題考查導數(shù)的運算，考查利用導數(shù)求點的切線方程，點到直線的距離公式，兩點之間的距離公式及基本不等式的綜合應用，考查轉化思想，屬于中檔題．