Question

18．已知直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-2y+1=0截得的弦長(zhǎng)為2，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出圓心和半徑，由直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-2y+1=0截得的弦長(zhǎng)為2，可得直線ax-by+2=0經(jīng)過(guò)圓心，可得a+b=2，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．

解答 解：圓x²+y²+2x-2y+1=0 即 （x+1）²+（y-1）²=1，圓心為（-1，1），半徑為1，
∵直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-2y+1=0截得的弦長(zhǎng)為2，
∴直線ax-by+2=0經(jīng)過(guò)圓心，∴-a-b+2=0，a+b=2，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$）≥$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{2}$a=b時(shí)等號(hào)成立，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式以及基本不等式的應(yīng)用．