Question

9．如圖，在三棱錐A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點．且$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1）．
（1）求證：不論λ取何值，總有EF∥平面BCD；
（2）求證：不論λ取何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（3）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD？說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出不論λ為何值，恒有EF∥CD．，由此能證明不論λ取何值，總有EF∥平面BCD．
（2）推導(dǎo)出AB⊥CD，從而CD⊥平面ABC，進而EF⊥平面ABC，由此能證明不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．
（3）推導(dǎo)出BE⊥AC，求出AC，AE，從而得到當(dāng)λ=$\frac{6}{7}$時，平面BEF⊥平面ACD．

解答 證明：（1）∵$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1），
∴不論λ為何值，恒有EF∥CD．
∵EF?平面BCD，CD?平面BCD，
∴不論λ取何值，總有EF∥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．
∵CD⊥BC，且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．
∵$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1），
∴不論λ為何值，恒有EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF．
∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．
解：（3）由（2）知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD．∴BE⊥AC．
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$tan60°=$\sqrt{6}$．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
由AB²=AE•AC，得AE=$\frac{6}{\sqrt{7}}$．
∴λ=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{6}{7}$，．
故當(dāng)λ=$\frac{6}{7}$時，平面BEF⊥平面ACD．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查滿足面面垂直的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．