Question

9．動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)順次經(jīng)過B，C，D再回到A，設(shè)x表示P點的行程，f（x）表示PA的長，g（x）表示△ABP的面積．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求g（x）的表達式并作出g（x）的簡圖．

Answer 1

分析 （1）動點P各有不同位置，計算PA也有不同的方法，因此同樣必須對P點的位置進行分類求解．
（2）△ABP的形狀各有特征，計算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對P點的位置進行分類求解．

解答 解：（1）如原題圖，當P在AB上運動時，PA=x；
當P點在BC上運動時，由Rt△ABD?可得PA=$\sqrt{1+（x-1）^{2}}$
當P點在CD上運動時，由Rt△ADP易得PA=$\sqrt{1+（3-x）^{2}}$
當P點在DA上運動時，PA=4-x，
故f（x）的表達式為：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤1）}\\{\sqrt{{x}^{2}-2x+2}，（1＜x≤2）}\\{\sqrt{{x}^{2}-6x+10}，（2＜x≤3）}\\{4-x，（3＜x≤4）}\end{array}\right.$．
（2）g（x）的簡圖：
由于P點在折線ABCD上不同位置時，如原題圖，
當P在線段AB上時，即0≤x＜1時，S△ABP的面積S=0；
當P在線段BC上時，即1＜x≤2時，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•BP=$\frac{1}{2}$（x-1）；
當P在線段CD上時，即2＜x≤3時，S_△ABP=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$
當P在線段DA上時，即3＜x≤4時，S_△ABP=$\frac{1}{2}$（4-x）
故g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，（0≤x≤1）}\\{\frac{1}{2}（x-1），（1＜x≤2）}\\{\frac{1}{2}，（2＜x≤3）}\\{\frac{1}{2}（4-x），（3＜x≤4）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了分段函數(shù)的求法，背景是動點的軌跡不同，線段的長以及三角形的面積也會發(fā)生變化．屬于中檔題．