Question

7．甲、乙兩隊(duì)參加聽歌猜歌名游戲，每隊(duì)3人．隨機(jī)播放一首歌曲，參賽者開始搶答，每人只有一次搶答機(jī)會(huì)（每人搶答機(jī)會(huì)均等），答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為$\frac{2}{3}$，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．
（Ⅰ）若比賽前隨機(jī)從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲隊(duì)的總得分，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）求兩隊(duì)得分之和大于4的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）6個(gè)選手中抽取兩名選手共有${C}_{6}^{2}$種結(jié)果，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)包括同在甲隊(duì)或乙隊(duì)，共有$2{C}_{3}^{2}$種結(jié)果，由此能求出從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率．
（Ⅱ）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）用B表示事件：兩隊(duì)得分之和大于4包括：兩隊(duì)得分之和為5，兩隊(duì)得分之和為6，用A₁表示事件：兩隊(duì)得分之和為5，包括甲隊(duì)3分乙隊(duì)2分和乙隊(duì)3分甲隊(duì)2分．用A₂表示事件：兩隊(duì)得分之和為6，甲隊(duì)3分乙隊(duì)3分，由P（B）=P（A₁）+P（A₂），能求出兩隊(duì)得分之和大于4的概率．

解答 解：（Ⅰ）6個(gè)選手中抽取兩名選手共有${C}_{6}^{2}$=15種結(jié)果，
抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)包括同在甲隊(duì)或乙隊(duì)，共有：$2{C}_{3}^{2}$=6種結(jié)果，
用A表示事件：“從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手，求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)”
P（A）=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．
故從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率為$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×$\frac{1}{27}$+1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{4}{9}$+3×$\frac{8}{27}$=2．
（Ⅲ）用B表示事件：兩隊(duì)得分之和大于4包括：兩隊(duì)得分之和為5，兩隊(duì)得分之和為6，
用A₁表示事件：兩隊(duì)得分之和為5，包括甲隊(duì)3分乙隊(duì)2分和乙隊(duì)3分甲隊(duì)2分．
P（A₁）=$（\frac{2}{3}）^{3}$（$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$）+$\frac{4}{9}（\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}）$=$\frac{40}{243}$，
用A₂表示事件：兩隊(duì)得分之和為6，甲隊(duì)3分乙隊(duì)3分，
則P（A₂）=$（\frac{2}{3}）^{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{8}{243}$，
P（B）=P（A₁）+P（A₂）=$\frac{40}{243}+\frac{8}{243}$=$\frac{48}{243}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布性質(zhì)、互斥事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．