Question

10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=40，AD=40，則當下底AB=80時，梯形ABCD的面積最大．

Answer 1

分析 設等腰梯形ABCD的底角∠ABC=α，則高為40sinα，下底AB=40cosα+40+40cosα，利用三角函數的有界限求最大值．

解答 解：由題意：設等腰梯形ABCD的底角∠ABC=α．（$0＜α＜\frac{π}{2}$）則高為40sinα．下底AB=40cosα+40+40cosα．
由梯形面積公式得：
$S=\frac{1}{2}•40sinα（80+80cosα）$
=1600（sinα+sinαcosα），
求導：S′=1600（cosα+cos²α-sin²α）
=1600（2cos²α+cosα-1）
=1600（2cosα-1）（cosα+1），
令S′=0，解得：cosα=$\frac{1}{2}$或cosα=-1，
∵（$0＜α＜\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\frac{1}{2}$，此時α=$\frac{π}{3}$．
  顯然當0＜cosα＜$\frac{1}{2}$時，S′＜0，即$α∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$減區(qū)間；
當$\frac{1}{2}$＜cosα＜1時，S′＞0．即$α∈（0，\frac{π}{3}）$增區(qū)間．
故在∴cosα=$\frac{1}{2}$，S取得最大值，即梯形ABCD的面積最大．此時α=$\frac{π}{3}$．
∴下底AB=40cosα+40+40cosα=80cos$\frac{π}{3}$+40=80．
故答案為：80．

點評 本題考查了求最值的方法，常用的方法有：觀察法，不等式法，有界限法，配方法，分離常數法，求導法等等．學會根據題意，尋求簡單的解題方法．屬于基礎題．