Question

18．已知函數f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），x∈R．
（1）用五點法作出該函數在長度為一個周期上的簡圖；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間和對稱軸方程；
（3）寫出使得不等式f（x）≥$\sqrt{3}$成立的x值的集合．

Answer 1

分析 （1）根據五點法作圖的方法先取值，然后描點即可得到圖象．
（2）根據函數的對稱性以及函數的單調性即可得到結論．
（3）根據函數最值的性質解方程即可．

解答 解：（1）列表：

x	$\frac{π}{9}$	$\frac{5π}{18}$	$\frac{4π}{9}$	$\frac{11π}{18}$	$\frac{7π}{9}$
3x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	2	0	-2	0

描點、連線如圖所示：

（2）函數f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），x∈R．
令3x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，解得：x∈[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$]，k∈Z．
從而可求得 f（x）的單調遞增區(qū)間為：[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$]，k∈Z．
令3x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z，解得：x∈[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{11π}{18}$]，k∈Z．
 從而可得f（x）的單調遞減區(qū)間為：[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{11π}{18}$]，k∈Z．
令3x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得對稱軸方程是：x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{18}$，k∈Z．
（3）∵f（x）≥$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（3x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，解得：$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{2π}{9}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴x值的集合是：[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{2π}{9}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查三角函數的圖象的作法，考查了正弦函數的對稱性，單調性，利用五點法是解決三角函數圖象的基本方法，屬于中檔題．