Question

3．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，AA₁=a，點E、F分別為AB、C₁B的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）如果∠A₁FE=90°，寫出a的值；（只寫出結(jié)果即可，不用寫過程）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點B到平面A₁EF的距離．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，連接AC₁．利用三角形中位線定理即可得出：EF∥AC₁，再利用線面平行的判定定理即可得出．
（II）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．由∠A₁FE=90°，可得$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=0，a＞0，解得a．
（III）設(shè)平面A₁EF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}F}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用點B到平面A₁EF的距離=$\frac{|\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （I）證明：如圖所示，連接AC₁．∵點E、F分別為AB、C₁B的中點，
∴EF∥AC₁，
又EF?平面ACC₁A₁；AC₁?平面ACC₁A₁．
∴EF∥平面ACC₁A₁．
（II）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．D（0，0，0），E（4，1，0），A₁（4，0，a），F(xiàn)$（2，2，\frac{a}{2}）$，
$\overrightarrow{EF}$=$（-2，1，\frac{a}{2}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$（-2，2，-\frac{a}{2}）$．
∵∠A₁FE=90°，
∴$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=4+2-$\frac{{a}^{2}}{2}$=0，a＞0，解得a=2$\sqrt{3}$．
（III）解：由（II）可得A₁（4，0，2$\sqrt{3}$），F(xiàn)$（2，2，\sqrt{3}）$，B（4，2，0）．
∴$\overrightarrow{EF}$=（-2，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$（-2，2，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EB}$=（0，1，0）．
設(shè)平面A₁EF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}F}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+y+\sqrt{3}z=0}\\{-2x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（9，12，2$\sqrt{3}$）．
∴點B到平面A₁EF的距離=$\frac{|\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{\sqrt{{9}^{2}+1{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{247}}{247}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系與空間距離、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運算性質(zhì)、三角形中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．