Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n+1=

1 3 an+n an-3n

(n為奇數(shù)) (n為偶數(shù))

．
（1）是否存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{a_2n-λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：壓軸題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）設(shè)b_n=a_2n-λ，依題意，可得

bn+1

bn

=

a2n+2-λ

a2n-λ

=

1 3 a2n+1-λ

a2n-λ

，若數(shù)列{a_2n-λ}是等比數(shù)列，則必須

1 3 a2n+1-λ

a2n-λ

=q（常數(shù)），整理得

1 3 -q=0 (q-1)λ+1=0

，求得

q= 1 3 λ= 3 2

，于是存在實(shí)數(shù)λ=

3

2

，使數(shù)列{a_2n-λ}是等比數(shù)列；
（2）由（1）得{b_n}是以-

1

6

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，于是a_2n-1+a_2n=-

1

2

[(

1

3

)n-1+(

1

3

)n]-6n+9=-2•(

1

3

)n-6n+9，利用分組求和的方法，分別用等比數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的求和公式即可求得S_2n=(

1

3

)n-3（n-1）²+2，分n=1與2討論，計(jì)算即可得到答案．

解答： 解：（1）設(shè)b_n=a_2n-λ，
因?yàn)?span id="6mmi66s" class="MathJye">

bn+1

bn

=

a2n+2-λ

a2n-λ

=

1 3 a2n+1+(2n+1)-λ

a2n-λ

=

1 3 (a2n-6n)+(2n+1)-λ

a2n-λ

=

1 3 a2n+1-λ

a2n-λ

…2分
若數(shù)列{a_2n-λ}是等比數(shù)列，則必須

1 3 a2n+1-λ

a2n-λ

=q（常數(shù)），
即（

1

3

-q）a_2n+（q-1）λ+1=0，即

1 3 -q=0 (q-1)λ+1=0

?

q= 1 3 λ= 3 2

…5分
此時(shí)b₁=a₂-

3

2

=

1

3

a₁+1-

3

2

=-

1

6

≠0，
所以存在實(shí)數(shù)λ=

3

2

，使數(shù)列{a_2n-λ}是等比數(shù)列…6分
（2）由（1）得{b_n}是以-

1

6

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
故b_n=（-

1

6

）•(

1

3

)n-1=-

1

2

•(

1

3

)n，即a_2n=-

1

2

•(

1

3

)n+

3

2

…8分
由a_2n=

1

3

a_2n-1+（2n-1）得a_2n-1=3a_2n-3（2n-1）=-

1

2

•(

1

3

)n-1-6n+

15

2

，…10分
所以a_2n-1+a_2n=-

1

2

[(

1

3

)n-1+(

1

3

)n]-6n+9=-2•(

1

3

)n-6n+9，
S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=-2[

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n]-6（1+2+…+n）+9n
=-2•

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-6•

n(n+1)

2

+9n
=(

1

3

)n-1-3n²+6n=(

1

3

)n-3（n-1）²+2…12分
顯然，當(dāng)n∈N*時(shí)，{S_2n}單調(diào)遞減，
又當(dāng)n=1時(shí)，S₂=

7

3

＞0，當(dāng)n=2時(shí)，S₄=-

8

9

＜0，所以當(dāng)n≥2時(shí)，S_2n＜0；
S_2n-1=S_2n-a_2n=

3

2

•(

1

3

)n-

5

2

-3n²+6n．
同理，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，S_2n-1＞0，
綜上，滿足滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n為1和2…16分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，綜合考查等比數(shù)列的性質(zhì)、分組求和，考查分類(lèi)討論思想及抽象思維、邏輯思維、綜合運(yùn)算能力，屬于難題．