Question

（1）如果log 

1

2

|x-

π

3

|≥log 

1

2

π

2

那么sinx的取值范圍是

 

；
（2）如果函數(shù)f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值
范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法即可得到結(jié)論．
（2）利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）如果log 

1

2

|x-

π

3

|≥log 

1

2

π

2

，則0＜|x-

π

3

|≤

π

2

，
即-

π

2

≤x-

π

3

≤

π

2

且x≠

π

3

，
即-

π

6

≤x≤

5π

6

且x≠

π

3

，
則-

π

6

≤x≤

5π

6

且x≠

π

3

，
-

1

2

≤sinx≤1；
（2）設(shè)t=a^x，則函數(shù)f（x）=a^x（a^x-3a²-1）等價(jià)為y=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t，
若a＞1，當(dāng)x≥0時(shí)，t≥1，
若f（x）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，
則等價(jià)為y=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t在[1，+∞）上為增函數(shù)，即-

-(3a2+1)

2

=

3a2+1

2

≤1，
即3a²+1≤2，a²≤

1

3

，此時(shí)不成立，
若0＜a＜1，當(dāng)x≥0時(shí)，0＜t＜1，
若f（x）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，
則等價(jià)為y=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t在（0，1）上為減函數(shù)，即-

-(3a2+1)

2

=

3a2+1

2

≤1，
即3a²+1≤2，a²≤

1

3

，此時(shí)0≤a≤

3

3

成立，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 0≤a≤

3

3

．
故答案為：-

1

2

≤sinx≤1，0≤a≤

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的求解以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．