Question

7．已知直線l的極坐標(biāo)方程是$ρsin（θ-\frac{π}{6}）=\frac{3}{2}$．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}\\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l和曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

Answer 1

分析 先由極坐標(biāo)方程求出直角坐標(biāo)方程，然后轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程嗎，利用參數(shù)的應(yīng)用建立方程組進(jìn)行求解即可．

解答 解：由直線l的極坐標(biāo)方程是$ρsin（θ-\frac{π}{6}）=\frac{3}{2}$，可得由直線l的直角坐標(biāo)方程是$\sqrt{3}y-x=3$，
化為參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}s\\ y=\frac{s}{2}\end{array}\right.$（s為參數(shù)）；曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}\\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）可化為x²-y²=4．
將直線的參數(shù)方程代入x²-y²=4，得${s^2}-6\sqrt{3}s+10=0$．
設(shè)A，B所對應(yīng)的參數(shù)為s₁，s₂，${s_1}+{s_2}=6\sqrt{3}$，s₁s₂=10，
所以$|{AB}|=\sqrt{{{（{s_1}+{s_2}）}^2}-4{s_1}{s_2}}=2\sqrt{17}$．

點(diǎn)評 本題主要考查坐標(biāo)系和參數(shù)方程的應(yīng)用，根據(jù)極坐標(biāo)和參數(shù)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．