Question

18．已知函數(shù)y=f（x），給出下列結(jié)論：
①若對于任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，則f（x）為R上的增函數(shù)；
②若f（x）為R上的偶數(shù)，且在（-∞，0]上是減函數(shù)，f（-1）=0，則f（x）＞0的解集為（-1，1）；
③若f（x）是奇函數(shù)，在定義域（-2，2）上單調(diào)遞增，則不等式f（2+x）+f（1-2x）＞0的解集為（-∞，3）．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 寫出①的等價命題判斷①正確；由題意求出f（x）＞0的解集說明②錯誤；由f（x）是奇函數(shù)，在定義域（-2，2）上單調(diào)遞增，把不等式f（2+x）+f（1-2x）＞0轉(zhuǎn)化為不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-2＜2+x＜2}\\{-2＜2x-1＜2}\\{2+x＞2x-1}\end{array}\right.$求解，說明③錯誤．

解答 解：①，若對于任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，則x₂-x₁與f（x₂）-f（x₁）同號，說明f（x）為R上的增函數(shù)，故①正確；
②，若f（x）為R上的偶數(shù)，且在（-∞，0]上是減函數(shù)，f（-1）=0，則f（x）＞0的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞），故②錯誤；
③，若f（x）是奇函數(shù)，在定義域（-2，2）上單調(diào)遞增，則不等式f（2+x）+f（1-2x）＞0等價于f（2+x）＞f（2x-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜2+x＜2}\\{-2＜2x-1＜2}\\{2+x＞2x-1}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}＜x＜0$，則不等式f（2+x）+f（1-2x）＞0的解集為（-$\frac{1}{2}$，0），故③錯誤．
∴正確的結(jié)論是1個．
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，是中檔題．