設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長度分別是a,b,c且b=3,c=1,∠A=2∠B,
(1)求a的值;
(2)求∠A+45°的正弦值.
考點(diǎn):余弦定理
專題:計算題,三角函數(shù)的求值,解三角形
分析:(1)對A=2B取正弦,由二倍角的正弦公式,結(jié)合正弦定理和余弦定理,化簡即可得到a2=bc+b2,代入b,c,即可得到a;
(2)運(yùn)用余弦定理,求得cosA,進(jìn)而得到sinA,再由兩角和的正弦公式計算即可得到.
解答: 解:(1)由于A=2B,則sinA=sin2B=2sinBcosB,
由正弦定理和余弦定理可得,
a=2b•
a2+c2-b2
2ac

即有a2(c-b)=b(c-b)(c+b),
即為a2=bc+b2=3+9=12,
則a=2
3
;
(2)由余弦定理可得,cosA=
b2+c2-a2
2bc

=
9+1-12
2×3×1
=-
1
3

則sinA=
1-
1
9
=
2
2
3

則有sin(A+45°)=
2
2
(sinA+cosA)
=
2
2
×(
2
2
3
-
1
3
)=
4-
2
6
點(diǎn)評:本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用,考查二倍角公式和兩角和的正弦公式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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3
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4
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4
5
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