Question

6．如圖所示，圓O上的弦AB不為直徑，DA切圓O于點A，點E在BA的延長線上且DE∥AC，點C為BD與圓交點，若AE=3，DE=6，CD=2，則AD=4．

Answer 1

分析 利用圓的弦切角定理與平行線的性質可證明△ADE∽△DBE．解得AB，再利用平行線的性質可得BC，利用切線長定理即可得出．

解答 解：∵DA切圓O于點A，∴∠DAC=∠B．
∵DE∥AC，∴∠DAC=∠ADE．
∴∠ADE=∠B．
又∠AED公用，
∴△ADE∽△DBE．
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE}$，即$\frac{6}{AB+3}$=$\frac{3}{6}$，解得AB=9．
由DE∥AC，∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BA}{AE}$，∴$\frac{BC}{2}=\frac{9}{3}$，解得BC=6．
∵DA切圓O于點A，∴AD²=DC•DB=2×（2+6）=16，
解得AD=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了圓的弦切角定理與平行線的性質、切線長定理、三角形相似的判定定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．