Question

2．已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²-ax，$g（x）=-alnx+{x^2}+3ax+\frac{1}{x}$，a∈R．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）令h（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）將a=0代入，求出f（x）的導數(shù)，從而求出函數(shù)的極值；
（2）先求出h（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間．

解答 解：（1）a=0時：f（x）=2lnx-x²，故f′（x）=$\frac{2（1+x）（1-x）}{x}$，（x＞0），
當0＜x＜1時：f′（x）＞0，f（x）遞增，
當x＞1時：f′（x）＜0，f（x）遞減，
∴x=1時：f（x）取極大值f（1）=-1；
（2）h′（x）=$\frac{（2x-1）（ax+1）}{{x}^{2}}$，令h′（x）=0，解得：x₁=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{1}{2}$，
若a≥0，由h′（x）＜0解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，∴h（x）的遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$），
若a＜0，①a＜-2時，-$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$，由h′（x）＜0，解得：0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{2}$，
∴h（x）在（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減；
②a=-2時：總有h′（x）≤0，故h（x）在（0，+∞）遞減，
③-2＜a＜0時：-$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$，由h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞-$\frac{1}{a}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
綜上：a＜-2時，h（x）在（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
a=-2時：h（x）在（0，+∞）遞減，
-2＜a＜0時：h（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
a≥0時：h（x）的遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性，考查分類討論思想，屬中檔題．