Question

5．如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△SAD是等邊三角形，且SD=2，BD=2$\sqrt{3}$，AB=2CD=4．
（1）證明：平面SBD⊥平面SAD；
（2）若E是SC上的一點(diǎn)，當(dāng)E點(diǎn)位于線段SC上什么位置時，SA∥平面EBD？請證明你的結(jié)論；
（3）求四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知求解三角形得到BD⊥AD，再由平面SAD⊥平面ABCD，得到BD⊥平面SAD，進(jìn)一步得到平面SBD⊥平面SAD；
（2）當(dāng)E為SC的三等分點(diǎn)，即ES=2CE時，SA∥平面EBD，連接AC交BD于點(diǎn)H，利用平行線截線段成比例定理證得HE∥SA，再由線面平行的判定得答案；
（3）過S作SO⊥AD，交AD于O，可得SO⊥平面ABCD，求出底面ABCD的面積，代入棱錐體積公式求得四棱錐S-ABCD的體積．

解答 證明：（1）∵△SAD是等邊三角形，
∴AD=SD=2，又BD=2$\sqrt{3}$，AB=4，
∴AD²+BD²=AB²，則BD⊥AD，
∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面SAD．
又∵BD?平面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAD；…（4分）

解：（2）當(dāng)E為SC的三等分點(diǎn)，即ES=2CE時，結(jié)論成立．
證明如下：連接AC交BD于點(diǎn)H，
∵CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}AB$，
∴$\frac{CH}{HA}=\frac{1}{2}=\frac{CE}{ES}$，則HE∥SA．
又SA?平面EBD，HE?平面EBD，
∴SA∥平面EBD；…（6分）
（3）過S作SO⊥AD，交AD于O，
∵平面SAD⊥平面ABCD，
∴SO⊥平面ABCD，
∵△SAD為等邊三角形，
∴O為AD的中點(diǎn)，SO=$\sqrt{3}$，
∴${V}_{S-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•SO=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（2+4）×\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$…（12分）．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直﹑線面平行的證明，體積的運(yùn)算，考察運(yùn)算求解能力﹑推理論證能力﹑空間想象能力，是中檔題．