Question

6．設(shè)f（x）滿足：①任意x∈R，有f（x）+f（2-x）=0；②當(dāng)x≥1時，f（x）=|x-a|-1，（a＞0），若x∈R，恒有f（x）＞f（x-m），則m的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （4，+∞）
• C． （3，+∞）
• D． （5，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的對稱性求出a的值，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合以及圖象關(guān)系進行平移計算即可．

解答 解：∵任意x∈R，有f（x）+f（2-x）=0，
∴f（2-x）=-f（x），
則函數(shù)關(guān)于（1，0）點對稱，
當(dāng)x=1時，f（1）+f（2-1）=0，即2f（1）=0，
則f（1）=0，
∵當(dāng)x≥1時，f（x）=|x-a|-1，
∴f（1）=|1-a|-1=0，
則|a-1|=1，則a-1=1或a-1=-1，
則a=2或a=0，
∵a＞0，
∴a=2，
即當(dāng)x≥1時，f（x）=|x-2|-1
當(dāng)x≤1時，-x≥-1，2-x≥1，
即f（x）=-f（2-x）=-（|2-x-2|-1）=1-|x|，x≤1，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
若f（x）＞f（x-m），則由圖象知，將函數(shù)f（x）向右平移m個單位即可，
由圖象知，m＞4，
故選：B

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的解析式，以及利用圖象平移是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．