Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，該雙曲線與拋物線y²=8x有一個公共的焦點(diǎn)F₁，且兩曲線的一個交點(diǎn)為P，|F₁P|=5，則∠F₁PF₂的大小為

 

．（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì),雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意雙曲線與拋物線y²=8x有一個公共的焦點(diǎn)F，可求得雙曲線的兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩曲線的一個交點(diǎn)為P，|PF|=5，利用拋物線的性質(zhì)可以求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式可以求得P點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離，由此即可利用余弦定理求出∠FPF'的余弦值，用反三角函數(shù)表示出角即可．

解答： 解：由題意知拋物線的焦點(diǎn)是（2，0），故雙曲線的焦點(diǎn)是（2，0）與（-2，0）
又兩曲線的一個交點(diǎn)為P，|PF|=5，由拋物線的性質(zhì)可求得P的橫坐標(biāo)為3，代入拋物線方程可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是±2

6

不妨令P（3，2

6

），由兩點(diǎn)間距離公式求得，P到另一個焦點(diǎn)的距離是7
在△FPF'中，由余弦定理得cos∠FPF'=

72+52-42

2×7×5

=

29

35

，
∴∠FPF'的大小為arccos

29

35

，
故答案為：arccos

29

35

．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的綜合，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出雙曲線的兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求出點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)的距離，在這個焦點(diǎn)三角形中利用余弦定理求出∠FPF'的余弦值，再用反三角函數(shù)表示，本題的解題思路要注意從圖形上推理，圓錐曲線的題解題時要注意圖形的作用，數(shù)形結(jié)合是解析幾何的根本．