Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，∠ABC=90°，側(cè)面A₁ABB₁⊥底面ABC．
（I）求證：AB₁⊥平面A₁BC；
（II）若AC=5，BC=3，∠A₁AB=60°，求二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由四邊形A₁ABB₁為菱形，得對(duì)角線AB₁⊥A₁B，由側(cè)面A₁ABB₁⊥底面ABC，∠ABC=90°，得CB⊥側(cè)面A₁ABB₁，從而CB⊥AB₁，由此能證明AB₁⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）由勾股定理得AB=4，由菱形A₁ABB₁中∠A₁AB=60°，得△A₁AB為正三角形，以菱形A₁ABB₁的對(duì)角線交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)OA₁方向?yàn)閤軸，OA方向?yàn)閥軸，過(guò)O且與BC平行的方向?yàn)閦 軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面A₁CC₁的法向量和平面A₁BC的法向量，由此能求出二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在側(cè)面A₁ABB₁中，因?yàn)锳₁A=AB，
所以四邊形A₁ABB₁為菱形，
所以對(duì)角線AB₁⊥A₁B，…（2分）
因?yàn)閭?cè)面A₁ABB₁⊥底面ABC，∠ABC=90°，
所以CB⊥側(cè)面A₁ABB₁，
因?yàn)锳B₁?平面A₁ABB₁內(nèi)，所以CB⊥AB₁，…（4分）
又因?yàn)锳₁B∩BC=B，
所以AB₁⊥平面A₁BC． …（6分）
（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，AC=5，BC=3，
所以AB=

AC2+BC2

=4，
又菱形A₁ABB₁中，因?yàn)椤螦₁AB=60°，所以△A₁AB為正三角形，
如圖，以菱形A₁ABB₁的對(duì)角線交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)OA₁方向?yàn)閤軸，OA方向?yàn)閥軸，
過(guò)O且與BC平行的方向?yàn)閦 軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（2，0，0），B（-2，0，0），C（-2，0，3），
B₁（0，-2

3

，0），C₁（0，-2

3

，3），
∴

C1C

=（-2，2

3

，0），

C1A1

=（2，2

3

，-3），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面A₁CC₁的法向量，
則

n • C1C =-2x+2y=0 n • C1A1 =2x+2y-3z=0

，取x=3，得

n

=（3，

3

，4），
又

OB1

=（0，-2

3

，0）是平面A₁BC的一個(gè)法向量，
∴cos＜

n

，

OB1

＞=

n • OB1

| n |•| OB1 |

=

-6

2 7 •2 3

=-

21

14

，
∴二面角B-A₁C-C₁的余弦值為-

21

14

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到線線、線面、面面平行與垂直的性質(zhì)、勾股定理、向量法等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用，是中檔題．