Question

11．已知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列．偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₄=S₃．a(chǎn)₉=a₃+a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若a_ka_k+1=a_k+2，求正整數(shù)k的值：
（3）是否存在正整數(shù)k．使得$\frac{{S}_{2k}}{{S}_{2k-1}}$恰好為數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)k：若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）此類問題一般用等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量根據(jù)題目條件布列方程，解之即可，體現(xiàn)的方程的基本思想，解出等差數(shù)列和等比數(shù)列后，便可寫出數(shù)列的通項公式，要注意本題數(shù)列的特點，可將其寫成分段的形式．
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時，推導(dǎo)出k×$2×{3}^{\frac{k+1}{2}-1}$=k+2；當(dāng)k為偶數(shù)時，推導(dǎo)出$2×{3}^{\frac{k}{2}-1}×（k+1）=2×{3}^{\frac{k+2}{2}-1}$．由此能求出k．
（3）推導(dǎo)出S_2k=3^k+k²-1，S_2k-1=S_2k-a_2k=3^k-1+k²-1，若$\frac{{S}_{2k}}{{S}_{2k-1}}$為數(shù)列{a_n}中的奇數(shù)項，則$\frac{{S}_{2k}}{{S}_{2k-1}}$=m（m為正奇數(shù)），由此能求出存在正整數(shù)k=1，使得$\frac{{S}_{2k}}{{S}_{2k-1}}$恰好為數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則a₁=1，a₂=2，a₃=1+d，a₄=2q，a₉=1+4d，
∵a₄=S₃．a(chǎn)₉=a₃+a₄，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2+（1+d）=2q}\\{1+4d=1+d+2q}\end{array}\right.$，
解得d=2，q=3，
∴對于k∈N^*，有a_2k-1=1+（k-1）•2=2k-1，${a}_{2k}=2•{3}^{k-1}$，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{2•{3}^{\frac{n}{2}-1}．n=2k}\end{array}\right.，k∈{N}^{*}$．
（2）∵a_ka_k+1=a_k+2，
∴當(dāng)k為奇數(shù)時，k×$2×{3}^{\frac{k+1}{2}-1}$=k+2，
∴${3}^{\frac{k-1}{2}}=\frac{k+2}{2k}$，∵${3}^{\frac{k-1}{2}}∈{N}^{*}$，而$\frac{k+2}{2k}$僅在k=2時為正整數(shù)，與k為奇數(shù)矛盾，故無解；
當(dāng)k為偶數(shù)時，$2×{3}^{\frac{k}{2}-1}×（k+1）=2×{3}^{\frac{k+2}{2}-1}$，
整理，得k+1=3，解得k=2．
（3）由（1）得S_2k=[1+3+…+（2k-1）]+2（1+3+3²+…+3^k-1）=3^k+k²-1．
S_2k-1=S_2k-a_2k=3^k-1+k²-1，
若$\frac{{S}_{2k}}{{S}_{2k-1}}$為數(shù)列{a_n}中的奇數(shù)項，則$\frac{{S}_{2k}}{{S}_{2k-1}}$=m（m為正奇數(shù)），
若$\frac{{S}_{2k}}{{S}_{2k-1}}$=m（m為正奇數(shù)），則$\frac{{3}^{k}+{k}^{2}-1}{{3}^{k-1}+{k}^{2}-1}$=m，
∴（3-m）•3^k-1=（m-1）（k²-1），
當(dāng)k=1時，m=3，結(jié)論成立；
當(dāng)k≠1時，$\frac{{3}^{k-1}}{{k}^{2}-1}=\frac{m-1}{3-m}$，由$\frac{{3}^{k-1}}{{k}^{2}-1}＞0$，得$\frac{m-1}{3-m}＞0$，解得1＜m＜3，
∵m為正奇數(shù)，∴此時滿足條件的正整數(shù)k不存在．
故存在正整數(shù)k=1，使得$\frac{{S}_{2k}}{{S}_{2k-1}}$恰好為數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的項數(shù)的求法，考查滿足條件的項是否存在的判斷與求法，難度大，綜合性強(qiáng)，對數(shù)學(xué)思維要求高．