Question

20．設(shè)直線l過雙曲線x²-y²=1的一個焦點，且與雙曲線相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓與y軸相切，則|AB|的值為（　�。�

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 1+2$\sqrt{2}$
• C． 2+2$\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用雙曲線的焦半徑公式求出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）到F₂的距離，根據(jù)以AB為直徑的圓與y軸相切，得到x₁+x₂=|AB|=$\sqrt{2}$（x₁+x₂）-2，代入坐標(biāo)后整理即可得到線段AB的長．

解答 解：雙曲線方程為x²-y²=1，F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），e=$\sqrt{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由雙曲線的焦半徑公式得：|AF₂|=ex₁-a=$\sqrt{2}$x₁-1，|BF₂|=ex₂-a=$\sqrt{2}$x₂-1，
∵以AB為直徑的圓與y軸相切，∴x₁+x₂=|AB|=$\sqrt{2}$（x₁+x₂）-2
∴|AB|=x₁+x₂=$\frac{2}{\sqrt{2}-1}$=2+2$\sqrt{2}$
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查雙曲線的焦半徑公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．