Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，，．設(shè)，分別為，中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得過三點(diǎn)，，的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）點(diǎn)是線段中點(diǎn)

【解析】

（1）通過證明，證明平面；

（2）通過和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，證明平面；

（3）通過證明兩個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，證明平面平面即可.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)， 點(diǎn)為的中點(diǎn)，

所以，又因?yàn)?/span>平面平面，

所以平面；

（2）因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

又平面，所以平面，所以

又因?yàn)?/span>，

所以平面；

（3）當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，

過點(diǎn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行，證明如下：

取中點(diǎn)，連.

由（1）可知平面.

因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

所以，又因?yàn)?/span>平面，

平面，所以平面，

又因?yàn)?/span>，所以平面平面，

所以平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行.