Question

16．已知A，B，C是球O的球面上三點，AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，且棱錐O-ABC的體積為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，則球O的表面積為（　�。�

• A． 10π
• B． 24π
• C． 36π
• D． 48π

Answer 1

分析 利用解三角形判斷△ABC為直角三角形，得出截面圓的圓心，利用d²+r²=R²，求解R，判斷球的表面積．

解答 解：∵AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°
∴$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，
$\frac{2}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$，C＜60°，
sinC=$\frac{1}{2}$，C=30°，
∴∠A=90°，BC=$\sqrt{{2}^{2}+12}$=4
∵A，B，C是球O的球面上三點
∴截面圓的圓心為AC中點，
半徑為2
∵棱錐O-ABC的體積為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×d$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，∴d=2$\sqrt{2}$，
∴R²=（2$\sqrt{2}$）²+2²=12，



∴球O的表面積為：4πR²=48π，
故選：D．

點評 本題綜合考察了學生的空間思維能力，空間幾何體性質，利用平面問題解決空間幾何問題，屬于中檔題．