Question

函數(shù)f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B．C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形．
（1）若x∈[0，1]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀）+1的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），由已知可得周期，進(jìn)而可得ω，可得函數(shù)的解析式，由x的范圍可得；
（2）由題意直接可求f（x₀）+1的值．

解答： 解：（1）由已知得f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3=3cosωx+

3

sinωx=2

3

sin（ωx+

π

3

）
又△ABC為正三角形，且高為2

3

，可得BC=4．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為8，即

2π

ω

=8，
解得ω=

π

4

，∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

），
∵x∈[0，1]，∴

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

12

]，
∴sin（

π

4

x+

π

3

）∈[

3

2

，1]
∴f（x）∈[3，2

3

]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬3，2

3

]；
（2）∵f（x₀）=

8 3

5

，
∴f（x₀）+1=

8 3

5

+1．

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)的值域，屬于基本知識(shí)的考查．