Question

14．已知函數(shù)f（x）=1-cos²（x-$\frac{5π}{12}$），g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，求g（x₀）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），由x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，得出x₀的值，計(jì)算g（x₀）即可；
（2）求出函數(shù)h（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出它的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=1-cos²（x-$\frac{5π}{12}$）
=sin²（x-$\frac{5π}{12}$）
=$\frac{1-cos（2x-\frac{5π}{6}）}{2}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x；
（1）∵x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，
∴x₀=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（kπ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$或$\frac{5}{4}$；
（2）函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問題，也考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．